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Resolução de integrais polinomiais no Excel 2010

Postado em: 09/01/2014 Nenhum comentário

O Excel 2010 possui uma gama de fórmulas e funções que podem ser empregadas para a resolução de diferentes problemas nas mais diversas áreas do conhecimento. Contudo, algumas ferramentas matemáticas não são atendidas diretamente, como por exemplo, a resolução de integrais. No entanto, a partir da aplicação de métodos de resolução de integrais, que normalmente são aprendidos em disciplinas como o Cálculo Numérico, podemos encontrar a solução para vários problemas envolvendo integração.

Neste artigo,  mostraremos como resolver integrais polinomiais no Excel 2010, utilizando gráficos a partir da aplicação do Método dos Retângulos.

grafico com metodo dos retangulos

Método dos retângulos para resolução de integrais.

O Método dos Retângulos:

Este método consiste em encontrar o valor de uma integral em um intervalo definido, o que normalmente resolve a maioria das necessidades envolvendo aplicações de integrais em problemas cotidianos. Basicamente, a ideia deste método é tornar o cálculo da área da região sob a curva do gráfico da função em algo simples a partir da soma das áreas de vários retângulos que são criados abaixo da curva.

Abaixo, apresentamos uma imagem onde podemos visualizar a área que deverá ser calculada sob a curva da função y = log x.

area sob a curva do grafico

Área sob a curva de um gráfico.

Notem que no caso da curva acima, a Área 1, que representa a área sob a curva do gráfico não é facilmente obtida, contudo, podemos visualizar na imagem abaixo que com a aplicação do Método dos Retângulos esta mesma área pode ser facilmente obtida somando a área de cada retângulo.

grafico com metodo dos retangulos

Desenhando retângulos para cálculo de áreas.

Como a quantidade de retângulos é um pouco grande faremos uso de uma planilha do Excel que facilite a realização dos cálculos. Vejamos abaixo como será construída essa planilha.

Resolução de integrais

Normalmente, nas disciplinas de Cálculo do Ensino Superior, a resolução de integrais é considerada como ferramenta importante na formação de bacharéis em ciências exatas e engenheiros. Considerada difícil por muitos alunos, a resolução de integrais possui uma série de regras e “algebrismos” que facilitam a resolução de problemas. Neste artigo trataremos da resolução da integral da função y = x³.

Abaixo, apresentamos a integral da função y = x³.

integral da funcao

Integral da função y = x³.

Onde C é uma constante e varia de acordo com cada caso, neste vamos imaginar que o valor desta constante seja 1. Sendo assim a integral que tentaremos encontrar no final deste artigo é:

integral com constante c

Integral com constante.

Vale ressaltar que com a definição desta constante chegamos à conclusão de que o valor inicial da integral, para x =1 será zero.

Para melhor entendermos este método que será aplicado, no Excel 2010, devemos ter em mente que uma integral nada mais é do que a área sob a curva do gráfico de uma função.

Construindo a Planilha no Excel 2010:

Para construir o gráfico da função y = log x basta criar uma coluna com os valores de x, lembrando que o valor de x igual à zero, não é válido para esta função e, em seguida, aplicar a função “Log”, do Excel 2010. Veja na imagem abaixo como fica a planilha juntamente com o gráfico.

planilha no excel 2010

Planilha criada para cálculo de integrais.

A partir da imagem acima podemos obter algumas informações que nos auxiliarão a encontrar a integral da função. A primeira informação nos auxilia a definir o intervalo de integração que neste caso varia de x =0 até x = 2, o que pode ser reescrito na forma [0;2].

Nosso próximo passo consiste em encontrar a área dos retângulos posicionados abaixo da curva, para isto basta entendermos um pouco de geometria. Veja na imagem abaixo como poderemos encontrar estas áreas.

area do metodo dos retangulos

Área dos retângulos.

Notamos na imagem acima que a área de cada retângulo será o produto entre o valor da função e o intervalo ∆x. Isto nos possibilita fazer um comentário pertinente em relação a escolha dos valores de x. Quanto menor for o valor de ∆x, melhor será o resultado da integral. Sendo assim, podemos alterar a nossa planilha reduzindo os valores de x e já inserindo também o valor das áreas dos retângulos em uma nova coluna.

planilha com melhor delta x

Planilha com melhor espaçamento no eixo x.

Na imagem acima apresentamos a nova planilha, com um ∆x variando de 0.5 e com a coluna contendo o valor da Integral em cada ponto. O valor da integral em cada ponto foi obtido a partir do valor inicial da Integral que é zero somado a área de cada triângulo, ou seja, foi utilizada a fórmula:

I = C3 + (B4*0.1)

Onde:

C3 = Valor inicial da Integral

B4 = Valor da função f(x)

∆x = 0.1

Agora que já possuímos todas as informações necessárias podemos adicionar uma nova série no gráfico contendo os valores da Integral que foram calculados com a fórmula acima. Veja como ficaria este novo gráfico na imagem abaixo.

plotando integral no grafico

Plotando os dados da Integral no Gráfico.

Com os valores da integral plotados no gráfico fica fácil obter a integral a partir do uso de linhas de tendência. Veja abaixo o resultado obtido a partir do uso de linhas de tendência onde foi aplicada uma regressão polinomial de grau 4. Notem que a equação apresentada na imagem está bem próxima do resultado esperado da integração da função y = x³.

linha de tendencia e integral

Resultado da Integral.

Agora que aprendemos como obter a integral de uma função a partir de gráficos no Excel 2010 precisamos levar em consideração algumas questões.

  1. Este método retorna um valor muito próximo do resultado real da integral. Devido a isto que na equação apresentada no gráfico aparecem alguns termos que não estão de acordo com o resultado esperado. Porém, podemos notar também que estes valores são muito próximos de zero.
  2. Para melhorar a qualidade do resultado deve-se sempre optar por valores de ∆x bem pequenos, para que o resultado seja obtido com maior exatidão.

Após essas considerações podemos finalizar este interessante artigo sobre Integração no Excel 2010. Caso queira assistir em vídeo este procedimento, basta acessar a aula Trabalhando com Integral no Excel, do Curso de Excel 2010 Gráficos e Funções para Engenharia, que corresponde a aula sobre integrações.

Até a próxima!

Sobre o autor:

Rafael Colucci Laércio Rafael Colucci Marques da Silva - Graduado em Física e mestre em Engenharia da Energia pela Universidade Federal de Itajubá. Professor de física e matemática, atuando com Excel e Estatística voltados para diversas áreas. De espírito aventureiro, pratica escalada e mountain bike sempre que possível.

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